Étudier le signe d'une fonction

Quand on veut connaître les variations (croissance ou décroissance) d’une fonction, on doit étudier le signe de sa dérivée.

Étape 1. Calculer la dérivée de la fonction.

Étape 2. Étudier le signe de cette dérivée sur l’intervalle donné.

Étape 3. Établir un tableau de signes de la dérivée.

Exemple

Soit la fonction \(f(x) = x² + 6x\), définie sur l’intervalle \([-5 ; 5]\).

1. On dérive la fonction : \(f’(x) = 2x + 6\).

2. On étudie le signe de \(f’(x) = 2x + 6\) sur l’intervalle \([-5\ ; 5]\). Cela signifie qu’on va chercher quand la dérivée est positive, négative ou nulle, entre \(x = -5\) et \(x = 5\).

Astuce : commencer par chercher la ou les solutions pour \(f’(x) = 0\). Ici, \(f’(x) = 0\) a pour solution \(x = -3\). Pour étudier le signe de \(f’\), choisir une valeur comprise entre \([ -5 \,; -3]\) puis réaliser la même démarche en prenant une valeur comprise entre \([ -3\, ; 5]\).

• Sur \([ -5 \,; -3]\), je choisis le nombre \(-4\) : \(f ’(-4) = 2 \times (-4) + 6 = - 8 + 6 = - 2\).
  Sur \([ -5 \,; -3]\), le signe de \(f'\) est négatif.
• Sur \([ -3\, ; 5]\), je choisis le nombre \(2\) : \(f ’(2) = 2 \times (2) + 6 = 4 + 6 = 10\).
  Sur \([ -3\, ; 5]\), le signe de \(f'\) est positif.

3. On remplit le tableau de signes de la fonction dérivée.